Σ_{ i =1}^{20}left(frac{{ }^{20} C _{ i -1}}{{ }^{20} C _{ i }+{ }^{20} C

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7.Binomial Theorem

hard

$\sum_{ i =1}^{20}\left(\frac{{ }^{20} C _{ i -1}}{{ }^{20} C _{ i }+{ }^{20} C _{ i -1}}\right)^{3}=\frac{ k }{21}$, तो $k$ बराबर है

$400$

$50$

$200$

$100$

(JEE MAIN-2019)

Solution

${\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{\,^{20}}{C_{I – 1}}}}{{^{20}{C_1} + {\,^{20}}{C_{I – 1}}}}} \right)} ^3}$

Now $\frac{{^{20}{C_{I – 1}}}}{{^{20}{C_1} + {\,^{20}}{C_{I – 1}}}} = \frac{{^{20}{C_{I – 1}}}}{{^{20}{C_1}}} = \frac{1}{{21}}$

Let given sum be $S$, so

$S = \sum\limits_{I = 1}^{20} {\frac{{{{\left( i \right)}^3}}}{{{{21}^3}}}} = \frac{1}{{{{(21)}^3}}}{\left( {\frac{{20.21}}{2}} \right)^2} = \frac{{100}}{{21}}$

Given $S = \frac{k}{{21}} \Rightarrow k = 100$

Standard 11

Mathematics

${(1 + x + {x^2})^n}$ के विस्तार में गुणांकों का योग होगा

easy

माना $m, n \in N$ तथा $\operatorname{gcd}(2, n)=1$ हैं। यदि $30\left(\begin{array}{l}30 \\ 0\end{array}\right)+29\left(\begin{array}{l}30 \\ 1\end{array}\right)+\ldots+2\left(\begin{array}{l}30 \\ 28\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{l}30 \\ 29\end{array}\right)= n .2^{ m }$ हैं तो $n + m$ बराबर है I (यहाँ) $\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)={ }^{ n } C _{ k }$ है।

hard

(JEE MAIN-2021)

$\left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)$$ + \left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.$$ + \left( {\left( {\begin{array}{{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)$ का मान है:

hard

(JEE MAIN-2017)

यदि ${(x – 2y + 3z)^n}$ के प्रसार में गुणांकों का योग $128$ हो, तो ${(1 + x)^n}$ के प्रसार में सबसे बड़ा गुणांक है

medium

$(1+x)^{101}\left(1+x^{2}-x\right)^{100}$ के $x$ की घातों में प्रसार में पदों की संख्या है

hard

(JEE MAIN-2014)

$\sum_{ i =1}^{20}\left(\frac{{ }^{20} C _{ i -1}}{{ }^{20} C _{ i }+{ }^{20} C _{ i -1}}\right)^{3}=\frac{ k }{21}$, तो $k$ बराबर है

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$(1+x)^{101}\left(1+x^{2}-x\right)^{100}$ के $x$ की घातों में प्रसार में पदों की संख्या है

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